鏡頭焦段怎麼算？從視野與工作距離反推

「我要看一個 100 mm 寬的工件，相機只能裝在 300 mm 遠的地方，鏡頭要選幾 mm？」

這是選型時最常被問的問題，也是最容易被一個「看起來很合理」的公式算錯的問題。這篇把正確的算法講清楚，並用實際數字示範常見近似會差多少。

一、三個數字之間的關係

整件事只牽涉三個量：

• 感測器尺寸 S——感光晶片在該方向的實際寬度（mm）
• 視野 FOV——你要拍到的實物範圍（mm）
• 工作距離 WD——鏡頭前緣到被測物的距離（mm）

把感測器尺寸除以視野，得到放大率：

m = S / FOV

放大率是整個計算的樞紐。有了它，焦距就固定了：

f = WD · m / (1 + m)

二、實例：100 mm 視野、300 mm 工作距離

用一顆 2/3 吋的 5 MP 感測器計算。注意這裡要用實際感光區寬度：2448 個像素 × 3.45 µm = 8.45 mm，不是「2/3 吋」這個標稱名稱換算出來的數字。

• 放大率 m = 8.45 / 100 = 0.0845
• 正確焦距 f = 300 × 0.0845 / 1.0845 = 23.4 mm
• 近似公式 f = 300 × 8.45 / 100 = 25.4 mm

近似公式高估了 8.5 %。放大率越大，誤差越大。

8.5 % 聽起來不多，但它的後果很具體：你照近似值去買 25 mm 鏡頭，卻以為視野會剛好 100 mm，實際上只有 93 mm，工件邊緣拍不進來——而這件事通常要等機構做完、相機裝上去才會發現。

三、市面上沒有 23.4 mm 的鏡頭

機器視覺鏡頭是標準焦段：8、12、16、25、35、50、75 mm。算出來的 23.4 mm 買不到，所以真正的流程是算出理想焦距，選最接近的標準焦段，再回推實際視野。

回推的公式把上面那條倒過來：

m = f / (WD − f)　　FOV = S / m

四、選完焦段還要確認三件事

4.1　鏡頭的像圈蓋不蓋得住感測器

鏡頭規格上的「支援感測器尺寸」是硬條件。用 1/1.8 吋規格的鏡頭配 2/3 吋感測器，四個角會暗掉甚至全黑（暈影）。鏡頭的支援尺寸必須大於等於感測器尺寸，反過來配沒問題，只是浪費解析度。

4.2　最短工作距離

每顆鏡頭都有最近對焦距離（MOD）。算出來的工作距離若小於 MOD，這顆鏡頭就對不到焦——這時要加近攝環、換微距鏡頭，或者重新規劃機構把相機拉遠。

4.3　解析度夠不夠

焦段決定視野，視野除以像素數就是每個像素代表的實際尺寸：

GSD = FOV / 水平像素數 = 92.9 / 2448 = 38.0 µm

要穩定抓到的缺陷，至少要佔 3 到 5 個像素。以這個配置，下限大約在 0.11 到 0.19 mm。若要求更小，只有三條路：縮小視野（分多次拍，節拍變長）、換更高像素數的相機、或縮短工作距離加長焦段。這三者的取捨在工業自動化頁的視覺檢測站章節有完整說明。

五、什麼時候該用遠心鏡頭

一般鏡頭是透視投影：離鏡頭近的東西看起來比較大。這對「看有沒有刮傷」沒差，但對「量尺寸」是致命的——工件在治具上高低差 2 mm，量出來的尺寸就跟著變。

遠心鏡頭（telecentric）的主光線平行於光軸，物體在景深範圍內前後移動，成像大小幾乎不變。代價是：

• 鏡頭前端必須比被測物大——量 100 mm 的工件就需要口徑超過 100 mm 的鏡頭，體積與價格都很可觀
• 視野固定，不能靠調工作距離微調

判斷原則很簡單：要「量」尺寸用遠心，要「看」瑕疵用一般鏡頭。

六、一張速查表

計算步驟整理成四步：

1. m = S / FOV——用實際感光區寬度（像素數 × 像素間距），不要用吋數
2. f = WD · m / (1 + m)——別省略 (1+m)
3. 選最接近的標準焦段，用 FOV = S·(WD − f) / f 回推實際視野
4. 差一點的話，調工作距離比換鏡頭容易

結語：先算再買

鏡頭是視覺系統裡少數「算得出來」的部分——不需要試，也不需要憑經驗。花十分鐘把這四步算過，比買錯一顆鏡頭再重新規劃機構便宜太多。

真正需要判斷的是前面那一題：要看到多小的缺陷。那個數字決定了視野上限，視野上限決定了焦段，焦段決定了機構要留多少空間。順序反過來做，通常會在機構做完之後才發現看不到。