產業應用系列 #02
伺服馬達怎麼選？三個數字決定機構動得準不準
「這顆馬達夠不夠力？」——這是選型時最常被問、也最容易答錯的問題。因為不夠力其實有三種完全不同的意思：轉不動、轉得動但停不準、以及停得準但等太久。三種各對應一個不同的數字。
這篇把伺服選型拆成三個必看的數字，並用一個滾珠螺桿載台從頭算一次。所有數字都可以用文中給的公式自己驗算。
一、先講清楚「選型」在選什麼
一個伺服軸的性能由四樣東西共同決定：馬達、驅動器、機構（螺桿或皮帶）、以及控制參數。選型只能決定前兩樣，但能不能達到目標，往往是第三樣說了算。所以正確的順序是：先確定機構，再算負載，最後選馬達。反過來做——先買馬達再想辦法——是最常見的失敗模式。
我們用這個例子貫穿全文：
- 水平載台 30 kg（含治具與被測物）
- 滾珠螺桿 ø20 mm × 600 mm，導程 10 mm，鋼材
- 目標最高速度 0.5 m/s、加速度 5 m/s²
- 直接連軸（不減速）
二、第一個數字：慣量比
慣量比是負載折算到馬達軸的轉動慣量，除以馬達自己的轉子慣量。它決定的不是「動不動得了」，而是「停得準不準、多久才不振」。
2.1 折算慣量怎麼算
直線運動透過螺桿折算成轉動慣量，靠的是導程。導程 L 的螺桿轉一圈走 L 公尺，等效半徑是：
r = L / 2π = 0.010 / 2π = 1.592 × 10⁻³ m
載台折算慣量：
J載台 = M · r² = 30 × (1.592 × 10⁻³)² = 7.60 × 10⁻⁵ kg·m²
螺桿本身是一根實心圓柱（J = ½mr²），鋼密度 7850 kg/m³：
J螺桿 = 7.40 × 10⁻⁵ kg·m²
兩者相加，負載側總慣量 = 1.50 × 10⁻⁴ kg·m²。
2.2 同一個機構，配不同馬達
| 馬達 | 轉子慣量 Jm | 慣量比 | 適用性 |
|---|---|---|---|
| 400 W（小慣量型） | 0.15 × 10⁻⁴ kg·m² | 10.0 : 1 | 勉強及格，安定時間會長 |
| 750 W（中慣量型） | 0.45 × 10⁻⁴ kg·m² | 3.3 : 1 | 量測站的合理選擇 |
一般機構的建議上限是 10:1。但對量測站來說，這個數字太寬鬆——慣量比越高，速度環的增益就越調不上去，結果是到位之後要等更久才不振動。我們的實務建議是：要求高響應、短安定時間的量測載台，控制在 5:1 以內，理想是 3:1。
為什麼？可以想成尾巴甩狗的問題。慣量比 1:1 是馬達和負載勢均力敵，馬達叫停就停；10:1 是負載比馬達重十倍，馬達喊停之後負載還會往前衝，只能靠回授慢慢拉回來——那個「拉回來」的過程就是安定時間。工業自動化頁的加減速比較圖量化過這件事：同樣走 50 mm，殘留振動 ±27 µm 和 ±5 µm 的差別，直接反映在節拍上。
三、第二個數字：轉矩曲線
規格書上的「額定轉矩」只是一個點，真正要看的是轉矩–轉速曲線。曲線分成兩個區域，用途完全不同。
3.1 峰值轉矩：加速度決定
先把直線加速度換成角加速度：
α = a / r = 5.0 / 1.592 × 10⁻³ = 3142 rad/s²
加速所需轉矩要推動「負載 + 馬達自己」：
T加速 = (J負載 + Jm) × α = (1.50 × 10⁻⁴ + 0.45 × 10⁻⁴) × 3142 = 0.61 N·m
再加上摩擦轉矩（螺桿、導軌、密封，這個例子取 0.15 N·m）：
T峰值 = 0.61 + 0.15 = 0.76 N·m
這個值必須落在瞬時區以內。
3.2 RMS 轉矩：整個週期決定
馬達會不會過熱，看的不是峰值，而是整個動作週期的均方根轉矩。以這個站的一次往返為例（加速 0.1 s、等速 0.05 s、減速 0.1 s、停等 0.2 s）：
Trms = √( Σ Ti² · ti / Σ ti ) = 0.42 N·m
所以這顆馬達的連續轉矩必須 ≥ 0.42 N·m。750 W 伺服在 3000 rpm 額定轉速下的轉矩約 2.4 N·m（T = P / ω），餘裕相當充足；400 W 同轉速下約 1.3 N·m 也夠——但它的問題在慣量比，不在轉矩。這正是為什麼三個數字要一起看：單看轉矩會選到錯的馬達。
四、第三個數字：編碼器解析度
編碼器決定控制器「看得到」多細的位置變化。以導程 10 mm 的螺桿換算：
| 編碼器 | counts / 轉 | 每 count 位移 |
|---|---|---|
| 17 bit | 131,072 | 0.076 µm |
| 20 bit | 1,048,576 | 0.010 µm |
| 23 bit | 8,388,608 | 0.001 µm |
解析度不是精度。編碼器能分辨 0.001 µm，不代表載台停得準到 0.001 µm。
兩者之間隔著整個機構。實際定位精度會被這些東西吃掉：
- 螺桿導程誤差——依 THK 規格表，C5 級滾珠螺桿在有效螺紋長度 315–400 mm 區間的代表移動量誤差為 9 µm、變動量 7 µm；C3 級則是 7 µm 與 5 µm。這比 17 bit 編碼器的 0.076 µm 大了兩個數量級
- 背隙與預壓——換向時的空程，通常是微米等級
- 熱漂移——鋼的線膨脹係數約 11 × 10⁻⁶／K，600 mm 的螺桿溫升 1 °C 就伸長 6.6 µm。連續運轉的產線上，這一項往往比機械誤差更大
- 結構變形——載台重量造成的撓曲，以及加速時的反作用力
滾珠螺桿精度等級數值依 THK 技術資料〈Accuracy of the Ball Screw〉，等級定義依 JIS 規範。
所以選 23 bit 編碼器配 C7 級螺桿是浪費錢。編碼器解析度的合理選法是：比你要求的定位精度細 5 到 10 倍就夠了，再細下去的錢應該花在螺桿等級、熱管理與量測回授上。
另一個實務問題是增量式還是絕對式。增量式開機要回原點，絕對式不用——對於一天要開關機好幾次、或停電後必須立刻恢復生產的產線，絕對式省下的時間很快就把價差賺回來。
五、選型檢查清單
- 先確定機構：導程、行程、載台重量、是否水平（垂直軸還要算重力轉矩與煞車）
- 算折算慣量：載台 + 螺桿 + 聯軸器，別漏掉螺桿自己
- 算慣量比：一般 ≤ 10:1，量測站 ≤ 5:1
- 算峰值轉矩：(J負載 + Jm) × α + 摩擦，確認落在瞬時區
- 算 RMS 轉矩：含停等時間，確認落在連續區
- 檢查高速端轉矩：在目標最高轉速下，曲線還剩多少轉矩
- 選編碼器：比要求精度細 5–10 倍；會頻繁開關機就選絕對式
- 留餘裕：峰值轉矩至少留 20–30 %，因為摩擦會隨使用時間增加
結語：三個數字，三種失敗
轉矩不足，機構轉不動或加速度達不到；慣量比太高，動得了但停不準、安定時間拉長；編碼器選錯，看起來規格很漂亮但精度被機構吃掉。三個數字各自防的是不同的失敗，少算一個就會在不同的地方出事。
更麻煩的是，這三種失敗在試機初期都長得很像——「機器動起來怪怪的」。把三個數字在採購前算清楚，比事後調參數便宜得多。